최대공약수·최소공배수

최대공약수·최소공배수란?

최대공약수(GCD)는 두 수 이상의 공통 약수 중 가장 큰 수이고, 최소공배수(LCM)는 공통 배수 중 가장 작은 수입니다. 이 계산기는 입력한 수를 모두 소인수분해한 뒤, 소인수별 지수를 표로 비교해 최대공약수와 최소공배수를 구하는 과정을 그대로 보여 줍니다.

2개뿐 아니라 3개, 4개 이상의 수도 한 번에 계산할 수 있으며, 결과가 아주 큰 최소공배수도 정확한 정수로 표시합니다.

사용 방법

1. 자연수를 쉼표나 띄어쓰기로 구분해 2개 이상 입력하세요. 예: 12, 18, 30
2. 최대공약수와 최소공배수가 바로 위쪽에 표시됩니다.
3. 아래에서 각 수의 소인수분해, 소인수별 지수 비교표, 결과 식을 차례로 확인하세요.
4. 공약수 목록은 최대공약수의 약수입니다.

소인수분해로 구하는 방법

12, 18, 30을 예로 들면:

1. 각 수를 소인수분해합니다: 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3², 30 = 2 × 3 × 5
2. 최대공약수: 세 수에 모두 있는 소인수(2, 3)를 가장 작은 지수로 곱합니다 → 2 × 3 = 6
3. 최소공배수: 나오는 모든 소인수(2, 3, 5)를 가장 큰 지수로 곱합니다 → 2² × 3² × 5 = 180

유클리드 호제법과 유용한 성질

• 유클리드 호제법: a를 b로 나눈 나머지를 r이라 하면 gcd(a, b) = gcd(b, r)입니다. 예: gcd(84, 36) → gcd(36, 12) → gcd(12, 0) = 12
• 두 수 a, b에 대해 a × b = 최대공약수 × 최소공배수가 항상 성립합니다. 단, 세 수 이상에서는 성립하지 않습니다.
• 최대공약수가 1인 두 수를 서로소라고 하며, 서로소의 최소공배수는 두 수의 곱입니다. 예: 8과 15 → 120

실생활 활용 예

• 최대공약수: 가로 24cm, 세로 36cm 종이를 남김없이 가장 큰 정사각형으로 자르기 → 한 변 12cm
• 최소공배수: 6분마다, 8분마다 출발하는 버스가 동시에 출발한 뒤 다시 함께 출발하는 시간 → 24분 후