Über: ggT und kgV Rechner
Der größte gemeinsame Teiler (ggT) ist die größte Zahl, durch die alle gegebenen Zahlen ohne Rest teilbar sind. Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) ist die kleinste Zahl, die ein Vielfaches aller gegebenen Zahlen ist. Der Rechner zerlegt jede Zahl in Primfaktoren und vergleicht die Exponenten in einer Tabelle – so lässt sich jeder Schritt nachvollziehen, etwa für die Hausaufgaben.
Es können zwei, drei oder bis zu 20 Zahlen gleichzeitig berechnet werden; auch sehr große kgV werden exakt angezeigt.
So funktioniert’s
- Geben Sie zwei oder mehr natürliche Zahlen ein, getrennt durch Komma oder Leerzeichen, z. B. 12, 18, 30.
- ggT und kgV erscheinen sofort oben.
- Darunter sehen Sie die Primfaktorzerlegung jeder Zahl, die Exponententabelle und die Ergebnisformeln.
- Die gemeinsamen Teiler sind genau die Teiler des ggT.
ggT und kgV mit Primfaktorzerlegung bestimmen
Beispiel mit 12, 18 und 30:
- Primfaktorzerlegung: 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3², 30 = 2 × 3 × 5
- ggT: die Primfaktoren, die in allen Zahlen vorkommen (2 und 3), mit dem kleinsten Exponenten multiplizieren → 2 × 3 = 6
- kgV: alle vorkommenden Primfaktoren (2, 3, 5) mit dem größten Exponenten multiplizieren → 2² × 3² × 5 = 180
Euklidischer Algorithmus und nützliche Regeln
- Euklidischer Algorithmus: Ist r der Rest von a : b, gilt ggT(a, b) = ggT(b, r). Beispiel: ggT(84, 36) → ggT(36, 12) → ggT(12, 0) = 12
- Für zwei Zahlen gilt immer a × b = ggT × kgV. Bei drei oder mehr Zahlen gilt das nicht.
- Zwei Zahlen mit ggT 1 heißen teilerfremd; ihr kgV ist ihr Produkt. Beispiel: 8 und 15 → 120
Beispiele aus dem Alltag
- ggT: Eine 24 cm × 36 cm große Platte ohne Verschnitt in möglichst große Quadrate schneiden → Seitenlänge 12 cm
- kgV: Ein Bus fährt alle 6 Minuten, ein anderer alle 8 Minuten. Nach gemeinsamer Abfahrt fahren sie nach 24 Minuten wieder zusammen ab.
- kgV: Brüche addieren – der Hauptnenner von 1/4 und 1/6 ist kgV(4, 6) = 12
Häufige Fragen
Wie viele Zahlen kann ich eingeben?
Bis zu 20 Zahlen, jede bis 1 Billion (10¹²). Das kgV wird immer als exakte ganze Zahl berechnet, egal wie groß es wird.
Gehen auch 0 oder negative Zahlen?
ggT und kgV werden üblicherweise für natürliche Zahlen definiert, daher sind nur ganze Zahlen ab 1 möglich. Bei negativen Zahlen einfach das Vorzeichen weglassen – das Ergebnis ist dasselbe.
Wie hängen gemeinsame Teiler und ggT zusammen?
Jeder gemeinsame Teiler ist ein Teiler des ggT. Wer alle Teiler des ggT auflistet, erhält also alle gemeinsamen Teiler.
Wofür braucht man das kgV beim Bruchrechnen?
Das kgV der Nenner ist der Hauptnenner. Damit lassen sich Brüche mit möglichst kleinen Zahlen gleichnamig machen.