À propos : Calcul du PGCD et du PPCM
Le PGCD (plus grand commun diviseur) est le plus grand entier qui divise tous les nombres donnés. Le PPCM (plus petit commun multiple) est le plus petit entier divisible par chacun d’eux. Ce calculateur décompose chaque nombre en facteurs premiers et compare les exposants dans un tableau : idéal pour vérifier un exercice de collège ou de lycée étape par étape.
Il accepte deux, trois ou jusqu’à 20 nombres à la fois et affiche même les très grands PPCM sous forme d’entier exact.
Mode d’emploi
- Saisissez au moins deux entiers séparés par des virgules ou des espaces, par exemple 12, 18, 30.
- Le PGCD et le PPCM s’affichent aussitôt en haut.
- Plus bas, retrouvez la décomposition de chaque nombre, le tableau des exposants et les formules finales.
- Les diviseurs communs sont exactement les diviseurs du PGCD.
Trouver le PGCD et le PPCM par décomposition en facteurs premiers
Exemple avec 12, 18 et 30 :
- On décompose : 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3², 30 = 2 × 3 × 5
- PGCD : on multiplie les facteurs présents dans tous les nombres (2 et 3) avec leur plus petit exposant → 2 × 3 = 6
- PPCM : on multiplie tous les facteurs rencontrés (2, 3, 5) avec leur plus grand exposant → 2² × 3² × 5 = 180
Algorithme d’Euclide et propriétés utiles
- Algorithme d’Euclide : si r est le reste de la division euclidienne de a par b, alors PGCD(a, b) = PGCD(b, r). Exemple : PGCD(84, 36) → PGCD(36, 12) → PGCD(12, 0) = 12
- Pour deux nombres, on a toujours a × b = PGCD × PPCM. Ce n’est plus vrai avec trois nombres ou plus.
- Deux nombres dont le PGCD vaut 1 sont premiers entre eux ; leur PPCM est leur produit. Exemple : 8 et 15 → 120
Exemples concrets
- PGCD : découper une plaque de 24 cm × 36 cm en carrés les plus grands possible, sans chute → carrés de 12 cm
- PPCM : un bus part toutes les 6 minutes, un autre toutes les 8 minutes ; partis ensemble, ils repartent ensemble 24 minutes plus tard
- PPCM : additionner des fractions – le dénominateur commun de 1/4 et 1/6 est PPCM(4, 6) = 12
Questions fréquentes
Combien de nombres puis-je saisir ?
Jusqu’à 20 nombres, chacun jusqu’à mille milliards (10¹²). Le PPCM est toujours calculé exactement, quelle que soit sa taille.
Peut-on utiliser 0 ou des nombres négatifs ?
Le PGCD et le PPCM se définissent généralement pour des entiers naturels non nuls ; seuls les entiers à partir de 1 sont acceptés. Pour un nombre négatif, il suffit d’ignorer le signe : le résultat est le même.
Quel lien entre diviseurs communs et PGCD ?
Tout diviseur commun divise le PGCD. La liste des diviseurs du PGCD donne donc tous les diviseurs communs.
Que signifie « premiers entre eux » ?
Deux nombres sont premiers entre eux lorsque leur PGCD vaut 1, comme 8 et 15. Une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux est irréductible.