순열 조합 계산기 - nPr, nCr, 중복순열·중복조합

순열·조합 계산기란?

순열·조합 계산기는 고등학교 확률과 통계에서 배우는 경우의 수 공식을 한 화면에서 계산합니다. 다섯 가지 결과가 동시에 나오고, 원하는 항목을 누르면 공식에 숫자를 대입하는 과정부터 약분까지 단계별 풀이를 볼 수 있습니다.

정수 연산(BigInt)으로 계산하므로 100!처럼 158자리나 되는 큰 수도 반올림 없이 모든 자릿수를 정확하게 보여 주고, 지수 표기(예: 9.3326 × 10¹⁵⁷)도 함께 표시합니다.

종류	기호	공식	예 (n=5, r=2)
순열	ₙPᵣ	n! / (n−r)!	₅P₂ = 5×4 = 20
조합	ₙCᵣ	n! / (r!(n−r)!)	₅C₂ = 20 / 2 = 10
중복순열	ₙΠᵣ	nʳ	₅Π₂ = 5² = 25
중복조합	ₙHᵣ	ₙ₊ᵣ₋₁Cᵣ	₅H₂ = ₆C₂ = 15
팩토리얼	n!	n×(n−1)×…×1	5! = 120

순서가 의미 있으면 순열, 없으면 조합입니다. 10명 중 회장·부회장을 뽑으면 누가 회장인지가 중요하므로 순열(₁₀P₂ = 90), 10명 중 대표 2명을 뽑으면 순서가 없으므로 조합(₁₀C₂ = 45)입니다.

같은 것을 여러 번 고를 수 있으면 ‘중복’이 붙습니다. 숫자 1~3으로 네 자리 비밀번호를 만드는 경우는 중복순열(3⁴ = 81), 사과·배·귤 중 과일 2개를 사는 경우(같은 과일 2개 가능)는 중복조합(₃H₂ = ₄C₂ = 6)입니다.

r이 n보다 크면 어떻게 되나요?

순열과 조합은 서로 다른 r개를 골라야 하므로 r이 n보다 크면 경우의 수가 0입니다. 중복순열과 중복조합은 같은 것을 여러 번 고를 수 있어서 r이 n보다 커도 계산됩니다.

0!은 왜 1인가요?

0개를 나열하는 방법은 ‘아무것도 하지 않는’ 1가지이고, n! = n × (n−1)! 관계가 n = 1에서도 성립하려면 0! = 1이어야 합니다. 그래서 ₙC₀ = ₙCₙ = 1이 됩니다.

얼마나 큰 수까지 계산되나요?

n과 r은 각각 1000까지 입력할 수 있습니다. 1000!은 2,568자리인데, 정수 연산으로 모든 자릿수를 정확히 구합니다.

중복조합 ₙHᵣ은 왜 ₙ₊ᵣ₋₁Cᵣ인가요?

r개의 공(○)과 종류를 나누는 칸막이 n−1개(|)를 한 줄로 늘어놓는 방법의 수와 같기 때문입니다. 전체 n+r−1자리 중 공이 들어갈 r자리를 고르면 되므로 ₙ₊ᵣ₋₁Cᵣ입니다.