Über: Kombinatorik-Rechner
Dieser Kombinatorik-Rechner beantwortet die typische Frage aus dem Stochastik-Unterricht: Wie viele Möglichkeiten gibt es? Alle fünf Grundformeln werden gleichzeitig berechnet; tippen Sie auf ein Ergebnis, um den vollständigen Rechenweg mit eingesetzten Zahlen und Kürzen zu sehen.
Gerechnet wird mit exakten Ganzzahlen (BigInt). Selbst 100! – eine Zahl mit 158 Stellen – erscheint vollständig, zusätzlich in wissenschaftlicher Schreibweise (9,3326 × 10¹⁵⁷).
So funktioniert’s
- Geben Sie n (Anzahl der Elemente) und k (Anzahl der ausgewählten bzw. angeordneten Elemente) ein.
- Variationen, Kombinationen, beide Varianten mit Wiederholung und die Fakultät erscheinen sofort.
- Tippen Sie auf ein Ergebnis, um exakten Wert, Stellenzahl, wissenschaftliche Schreibweise und Rechenweg zu sehen.
- Mit „Wert kopieren“ übernehmen Sie alle Ziffern eines großen Ergebnisses.
Formeln der Kombinatorik
| Fall | Reihenfolge | Formel | Beispiel (n=5, k=2) |
|---|---|---|---|
| Variation ohne Wiederholung | ja | n! / (n−k)! | 5 · 4 = 20 |
| Kombination ohne Wiederholung | nein | (n über k) = n! / (k!(n−k)!) | 20 / 2 = 10 |
| Variation mit Wiederholung | ja | nᵏ | 5² = 25 |
| Kombination mit Wiederholung | nein | (n+k−1 über k) | (6 über 2) = 15 |
| Permutation | ja, alle n | n! | 5! = 120 |
Welche Formel passt?
Entscheidend sind zwei Fragen: Spielt die Reihenfolge eine Rolle? und Darf ein Element mehrfach vorkommen? Beim Lotto „6 aus 49“ zählt die Reihenfolge nicht und jede Kugel kommt nur einmal vor – Kombination ohne Wiederholung: (49 über 6) = 13.983.816. Bei einer vierstelligen PIN aus den Ziffern 0–9 zählt die Reihenfolge und Ziffern dürfen sich wiederholen – Variation mit Wiederholung: 10⁴ = 10.000.
Wer 3 Kugeln Eis aus 5 Sorten wählt (gleiche Sorte mehrfach erlaubt, Reihenfolge egal), braucht die Kombination mit Wiederholung: (7 über 3) = 35.
Nützliche Werte
- Lotto 6 aus 49: (49 über 6) = 13.983.816
- Pokerhände (5 aus 52): (52 über 5) = 2.598.960
- 10! = 3.628.800; 20! = 2.432.902.008.176.640.000
- 0! = 1, (n über 0) = (n über n) = 1, (n über k) = (n über n − k)
Häufige Fragen
Was passiert, wenn k größer als n ist?
Ohne Wiederholung braucht man k verschiedene Elemente, das Ergebnis ist dann 0. Mit Wiederholung darf k größer als n sein.
Warum ist 0! = 1?
Null Elemente lassen sich auf genau eine Weise anordnen, und die Regel n! = n · (n − 1)! gilt für n = 1 nur, wenn 0! = 1 ist. Daher gilt auch (n über 0) = (n über n) = 1.
Wie groß dürfen die Zahlen sein?
n und k dürfen jeweils bis 1000 gehen. 1000! hat 2.568 Stellen – der Rechner gibt alle exakt aus.
Was ist der Unterschied zwischen Permutation und Variation?
Eine Permutation ordnet alle n Elemente an (n!). Eine Variation wählt nur k der n Elemente aus und ordnet sie an. Im englischen Sprachraum heißen beide „permutation“ (nPr).