À propos : Calculateur d’arrangements et combinaisons
Ce calculateur de dénombrement répond à la question classique des probabilités : combien de possibilités ? Les cinq formules de base sont calculées en même temps ; touchez un résultat pour voir la formule, les valeurs remplacées et chaque étape de simplification.
Le calcul se fait en nombres entiers exacts (BigInt) : même 100!, un nombre de 158 chiffres, s’affiche en entier, avec sa notation scientifique (9,3326 × 10¹⁵⁷).
Mode d’emploi
- Saisissez n, le nombre total d’éléments distincts, et k, le nombre d’éléments choisis ou rangés.
- Arrangements, combinaisons, leurs versions avec répétition et la factorielle s’affichent aussitôt.
- Touchez un résultat pour afficher la valeur exacte, le nombre de chiffres, la notation scientifique et le détail du calcul.
- Le bouton « Copier la valeur » copie tous les chiffres d’un grand résultat.
Formules de dénombrement
| Cas | Ordre | Formule | Exemple (n=5, k=2) |
|---|---|---|---|
| Arrangements | oui | A(n,k) = n! / (n−k)! | 5 × 4 = 20 |
| Combinaisons | non | C(n,k) = n! / (k!(n−k)!) | 20 / 2 = 10 |
| k-uplets (avec répétition) | oui | nᵏ | 5² = 25 |
| Combinaisons avec répétition | non | C(n+k−1, k) | C(6, 2) = 15 |
| Permutations | oui, tous | n! | 5! = 120 |
Arrangement ou combinaison ?
Tout dépend de l’ordre. Élire un président et un trésorier parmi 10 personnes : les rôles diffèrent, c’est un arrangement (A(10, 2) = 90). Choisir 2 délégués : l’ordre ne compte pas, c’est une combinaison (C(10, 2) = 45).
Si un élément peut être repris, on passe aux formules avec répétition : un code à 4 chiffres de 0 à 9 offre 10⁴ = 10 000 possibilités ; choisir 3 boules de glace parmi 5 parfums (le même parfum plusieurs fois possible) donne C(7, 3) = 35 possibilités.
Valeurs utiles
- Loto (5 numéros parmi 49) : C(49, 5) = 1 906 884
- Mains de 5 cartes dans un jeu de 52 : C(52, 5) = 2 598 960
- 10! = 3 628 800 ; 20! = 2 432 902 008 176 640 000
- 0! = 1, C(n, 0) = C(n, n) = 1, C(n, k) = C(n, n − k)
Questions fréquentes
Que se passe-t-il si k est plus grand que n ?
Sans répétition, il faut k éléments distincts : le résultat vaut 0. Avec répétition, k peut dépasser n.
Pourquoi 0! = 1 ?
Il existe une seule façon d’ordonner zéro élément, et la relation n! = n × (n − 1)! n’est vraie pour n = 1 que si 0! = 1. C’est aussi pourquoi C(n, 0) = C(n, n) = 1.
Jusqu’à quelle taille peut-on calculer ?
n et k peuvent aller jusqu’à 1000. 1000! compte 2 568 chiffres, tous donnés exactement.
Quelle notation utiliser : C(n,k) ou « k parmi n » ?
Les deux désignent le même nombre. Les programmes actuels écrivent le coefficient binomial (n k) en colonne et le lisent « k parmi n » ; l’ancienne notation C(n,k) reste très répandue.