Sobre a ferramenta: Calculadora de arranjo e combinação
Esta calculadora de análise combinatória responde à pergunta clássica do ENEM e dos vestibulares: de quantas maneiras? As cinco fórmulas básicas são calculadas ao mesmo tempo; toque em um resultado para ver a fórmula, a substituição dos valores e cada etapa da simplificação.
Os cálculos usam aritmética inteira exata (BigInt), então até 100!, um número de 158 algarismos, aparece completo, junto com a notação científica (9,3326 × 10¹⁵⁷).
Como usar
- Digite n, o total de elementos distintos, e p, quantos serão escolhidos ou ordenados.
- Arranjo, combinação, as versões com repetição e o fatorial aparecem na hora.
- Toque em um resultado para ver o valor exato, a quantidade de algarismos, a notação científica e a resolução.
- Use “Copiar valor” para copiar todos os algarismos de um resultado grande.
Fórmulas de análise combinatória
| Tipo | A ordem importa? | Fórmula | Exemplo (n=5, p=2) |
|---|---|---|---|
| Arranjo simples A(n,p) | sim | n! / (n−p)! | 5 · 4 = 20 |
| Combinação simples C(n,p) | não | n! / (p!(n−p)!) | 20 / 2 = 10 |
| Arranjo com repetição AR(n,p) | sim | nᵖ | 5² = 25 |
| Combinação com repetição CR(n,p) | não | C(n+p−1, p) | C(6, 2) = 15 |
| Permutação simples Pₙ | sim, todos | n! | 5! = 120 |
Arranjo ou combinação?
A pergunta-chave é: a ordem importa? Escolher presidente e vice entre 10 pessoas é arranjo (A(10, 2) = 90), porque os cargos são diferentes; escolher uma comissão de 2 pessoas é combinação (C(10, 2) = 45).
Se um elemento pode se repetir, use as fórmulas com repetição: uma senha de 4 dígitos de 0 a 9 tem AR(10, 4) = 10.000 possibilidades, e escolher 3 bolas de sorvete entre 5 sabores (pode repetir sabor) dá CR(5, 3) = C(7, 3) = 35 opções.
Valores úteis
- Mega-Sena (6 de 60): C(60, 6) = 50.063.860
- Lotofácil (15 de 25): C(25, 15) = 3.268.760
- 10! = 3.628.800; 20! = 2.432.902.008.176.640.000
- 0! = 1, C(n, 0) = C(n, n) = 1, C(n, p) = C(n, n − p)
Perguntas frequentes
O que acontece se p for maior que n?
Sem repetição é preciso ter p elementos distintos, então o resultado é 0. Com repetição, p pode ser maior que n.
Por que 0! é igual a 1?
Existe uma única maneira de ordenar zero elementos, e a relação n! = n · (n − 1)! só vale para n = 1 se 0! = 1. Por isso também C(n, 0) = C(n, n) = 1.
Até que tamanho de número a calculadora vai?
n e p podem chegar a 1000. 1000! tem 2.568 algarismos, e a calculadora mostra todos de forma exata.
Qual a diferença entre permutação e arranjo?
A permutação ordena todos os n elementos (n!). O arranjo escolhe só p dos n elementos e os ordena. A permutação é o caso particular A(n, n) = n!.