Sobre la herramienta: Calculadora de combinaciones y permutaciones
Esta calculadora de combinatoria responde a la pregunta clásica de probabilidad: ¿de cuántas formas se puede hacer? Calcula las cinco fórmulas básicas a la vez; toca un resultado para ver la fórmula, la sustitución de valores y cada paso de la simplificación.
Trabaja con aritmética entera exacta (BigInt), así que incluso 100!, un número de 158 cifras, aparece completo junto a su notación científica (9,3326 × 10¹⁵⁷).
Cómo se usa
- Introduce n, el número total de elementos distintos, y k, cuántos se eligen u ordenan.
- Las variaciones, combinaciones, sus versiones con repetición y el factorial aparecen al instante.
- Toca un resultado para ver el valor exacto, el número de cifras, la notación científica y el procedimiento.
- Con «Copiar valor» copias todas las cifras de un resultado grande.
Fórmulas de combinatoria
| Tipo | ¿Importa el orden? | Fórmula | Ejemplo (n=5, k=2) |
|---|---|---|---|
| Variaciones V(n,k) | sí | n! / (n−k)! | 5 · 4 = 20 |
| Combinaciones C(n,k) | no | n! / (k!(n−k)!) | 20 / 2 = 10 |
| Variaciones con repetición VR(n,k) | sí | nᵏ | 5² = 25 |
| Combinaciones con repetición CR(n,k) | no | C(n+k−1, k) | C(6, 2) = 15 |
| Permutaciones P(n) | sí, todos | n! | 5! = 120 |
¿Variación o combinación?
La clave es si importa el orden. Elegir presidente y secretario entre 10 personas es una variación (V(10, 2) = 90), porque los cargos son distintos; elegir 2 delegados es una combinación (C(10, 2) = 45).
Si un elemento puede repetirse, se usan las fórmulas con repetición: un PIN de 4 cifras del 0 al 9 tiene VR(10, 4) = 10.000 posibilidades, y elegir 3 bolas de helado entre 5 sabores (se puede repetir sabor) da CR(5, 3) = C(7, 3) = 35 opciones.
Valores útiles
- La Primitiva (6 de 49): C(49, 6) = 13.983.816
- Manos de póquer (5 de 52 cartas): C(52, 5) = 2.598.960
- 10! = 3.628.800; 20! = 2.432.902.008.176.640.000
- 0! = 1, C(n, 0) = C(n, n) = 1, C(n, k) = C(n, n − k)
Preguntas frecuentes
¿Qué pasa si k es mayor que n?
Sin repetición necesitas k elementos distintos, así que el resultado es 0. Con repetición, k puede ser mayor que n.
¿Por qué 0! es igual a 1?
Hay una sola forma de ordenar cero elementos y la relación n! = n · (n − 1)! solo se cumple para n = 1 si 0! = 1. Por eso también C(n, 0) = C(n, n) = 1.
¿Hasta qué números calcula?
n y k pueden llegar hasta 1000. 1000! tiene 2.568 cifras y la calculadora las da todas de forma exacta.
¿Por qué las combinaciones con repetición son C(n + k − 1, k)?
Coloca k estrellas (los elementos elegidos) y n − 1 barras (separadores entre los n tipos) en fila. Cada colocación es una elección distinta, y basta con decidir cuáles de las n + k − 1 posiciones son estrellas.