Informazioni: Calcolatore di combinazioni e disposizioni
Questo calcolatore di calcolo combinatorio risponde alla domanda tipica della probabilità: in quanti modi? Le cinque formule fondamentali vengono calcolate insieme; tocca un risultato per vedere la formula, la sostituzione dei valori e ogni passaggio di semplificazione.
Usa l’aritmetica intera esatta (BigInt): anche 100!, un numero di 158 cifre, viene mostrato per intero insieme alla notazione scientifica (9,3326 × 10¹⁵⁷).
Come si usa
- Inserisci n, il numero totale di elementi distinti, e k, quanti se ne scelgono o ordinano.
- Disposizioni, combinazioni, le versioni con ripetizione e il fattoriale compaiono subito.
- Tocca un risultato per vedere valore esatto, numero di cifre, notazione scientifica e passaggi.
- Con «Copia valore» copi tutte le cifre di un risultato grande.
Formule del calcolo combinatorio
| Tipo | Conta l’ordine? | Formula | Esempio (n=5, k=2) |
|---|---|---|---|
| Disposizioni semplici D(n,k) | sì | n! / (n−k)! | 5 · 4 = 20 |
| Combinazioni semplici C(n,k) | no | n! / (k!(n−k)!) | 20 / 2 = 10 |
| Disposizioni con ripetizione D′(n,k) | sì | nᵏ | 5² = 25 |
| Combinazioni con ripetizione C′(n,k) | no | C(n+k−1, k) | C(6, 2) = 15 |
| Permutazioni P(n) | sì, tutti | n! | 5! = 120 |
Disposizione o combinazione?
Tutto dipende dall’ordine. Eleggere presidente e segretario tra 10 persone è una disposizione (D(10, 2) = 90), perché i ruoli sono diversi; scegliere 2 rappresentanti è una combinazione (C(10, 2) = 45).
Se un elemento può ripetersi servono le formule con ripetizione: un PIN di 4 cifre da 0 a 9 ha D′(10, 4) = 10.000 possibilità, e scegliere 3 palline di gelato tra 5 gusti (anche lo stesso gusto più volte) dà C′(5, 3) = C(7, 3) = 35 possibilità.
Valori utili
- SuperEnalotto (6 numeri su 90): C(90, 6) = 622.614.630
- Mani di poker (5 carte su 52): C(52, 5) = 2.598.960
- 10! = 3.628.800; 20! = 2.432.902.008.176.640.000
- 0! = 1, C(n, 0) = C(n, n) = 1, C(n, k) = C(n, n − k)
Domande frequenti
Cosa succede se k è maggiore di n?
Senza ripetizione servono k elementi distinti, quindi il risultato è 0. Con ripetizione k può superare n.
Perché 0! vale 1?
Esiste un solo modo di ordinare zero elementi e la relazione n! = n · (n − 1)! vale per n = 1 solo se 0! = 1. Per questo anche C(n, 0) = C(n, n) = 1.
Fino a che numeri arriva?
n e k possono arrivare a 1000. 1000! ha 2.568 cifre e il calcolatore le fornisce tutte in modo esatto.
Perché le combinazioni con ripetizione sono C(n + k − 1, k)?
Allinea k stelle (gli elementi scelti) e n − 1 barre (i separatori tra gli n tipi). Ogni disposizione corrisponde a una scelta diversa: basta decidere quali delle n + k − 1 posizioni sono stelle.