À propos : Décomposition en facteurs premiers
La décomposition en facteurs premiers consiste à écrire un entier naturel comme un produit de nombres premiers, c’est-à-dire de nombres divisibles uniquement par 1 et par eux-mêmes. Par exemple, 360 = 2³ × 3² × 5. Ce calculateur décompose le nombre saisi et affiche aussi le nombre et la somme de ses diviseurs, la liste complète des diviseurs et indique s’il s’agit d’un nombre premier.
Il est exact pour tout entier jusqu’à 2⁵³−1 (environ 9 millions de milliards) et détaille les divisions successives, comme en classe.
Mode d’emploi
- Saisissez un entier naturel. Les espaces entre milliers sont acceptés.
- Le résultat s’affiche sous forme de puissances, par exemple 2³ × 3² × 5 ; un nombre premier est signalé comme tel.
- Plus bas : nombre et somme des diviseurs, liste des diviseurs et étapes de la division.
Formules du nombre et de la somme des diviseurs
Si n = pa × qb × rc, alors :
- Nombre de diviseurs = (a + 1)(b + 1)(c + 1)
- Somme des diviseurs = (1 + p + … + pa)(1 + q + … + qb)(1 + r + … + rc)
Exemple : 360 = 2³ × 3² × 5 → nombre de diviseurs = 4 × 3 × 2 = 24, somme des diviseurs = 15 × 13 × 6 = 1 170
Comment savoir si un nombre est premier
Pour tester si n est premier, on le divise par tous les entiers de 2 jusqu’à √n : si n avait un diviseur plus grand que √n, il en aurait aussi un plus petit que √n. Le calculateur ne teste que 2, 3 et les nombres de la forme 6k ± 1, ce qui le rend très rapide.
| Nombre | Décomposition | Diviseurs |
|---|---|---|
| 12 | 2² × 3 | 6 |
| 100 | 2² × 5² | 9 |
| 1 001 | 7 × 11 × 13 | 8 |
| 1 024 | 2¹⁰ | 11 |
Questions fréquentes
1 est-il un nombre premier ?
Non. Un nombre premier a exactement deux diviseurs (1 et lui-même). 1 n’en a qu’un seul : il n’est donc ni premier ni composé.
Quels nombres ont un nombre impair de diviseurs ?
Les carrés parfaits. Le produit des (exposant + 1) n’est impair que si tous les exposants sont pairs. Exemple : 36 = 2² × 3² a 9 diviseurs.
Pourquoi la liste des diviseurs est-elle tronquée ?
Pour les nombres qui ont énormément de diviseurs, seuls les 1 000 premiers sont affichés afin que la page reste lisible. Le nombre et la somme des diviseurs sont toujours calculés en entier.
La décomposition est-elle unique ?
Oui. D’après le théorème fondamental de l’arithmétique, tout entier supérieur à 1 possède une seule décomposition en facteurs premiers, à l’ordre des facteurs près.